関数 $y = ax^2$ において、$x$ が 1 から 5 まで増加するときの変化の割合が 12 である。このとき、定数 $a$ の値を求める。

## 問題 (2)

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ において、$x$ が 1 から 5 まで増加するときの変化の割合が 12 である。このとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

変化の割合は、(yの増加量)/(xの増加量) で求められる。

$x$ が 1 から 5 まで増加するときの $y$ の値は、それぞれ $a(1)^2 = a$ と $a(5)^2 = 25a$ となる。

したがって、$x$ の増加量は $5-1=4$ であり、$y$ の増加量は $25a-a = 24a$ である。

変化の割合が 12 であることから、以下の式が成り立つ。

$\frac{24a}{4} = 12$

$6a = 12$

$a = \frac{12}{6}$

$a=2$

3. 最終的な答え

$a = 2$

## 問題 (3)

1. 問題の内容

1次関数 $y = -3x - 6$ において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域を求める。

2. 解き方の手順

1次関数 $y = -3x - 6$ は、傾きが負の直線である。したがって、$x$ が増加すると $y$ は減少する。

$x = -1$ のとき、$y = -3(-1) - 6 = 3 - 6 = -3$

$x = 3$ のとき、$y = -3(3) - 6 = -9 - 6 = -15$

したがって、$y$ の変域は $-15 \le y \le -3$ となる。

3. 最終的な答え

$-15 \le y \le -3$

## 問題 (4)

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2$ において、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域を求める。

2. 解き方の手順

関数 $y = 2x^2$ は、原点を頂点とする上に凸の放物線である。

$x$ の変域 $-1 \le x \le 3$ には $x = 0$ が含まれるので、$y$ の最小値は $x = 0$ のときの $y = 2(0)^2 = 0$ である。

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1)^2 = 2$

$x = 3$ のとき、$y = 2(3)^2 = 18$

$y$ の最大値は、$x = 3$ のときの $y = 18$ である。

したがって、$y$ の変域は $0 \le y \le 18$ となる。

3. 最終的な答え

$0 \le y \le 18$

## 問題 (5)

1. 問題の内容

1次関数 $y = -2x + 6$ において、$x$ の変域が $0 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $2 \le y \le b$ となった。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

1次関数 $y = -2x + 6$ は、傾きが負の直線である。したがって、$x$ が増加すると $y$ は減少する。

$x = 0$ のとき、$y = -2(0) + 6 = 6$

$x = a$ のとき、$y = -2a + 6$

$x$ の変域が $0 \le x \le a$ のとき、$y$ の変域が $2 \le y \le b$ であるから、

$b = 6$ であり、$2 = -2a + 6$ が成り立つ。

$2a = 6 - 2 = 4$

$a = \frac{4}{2} = 2$

したがって、$a = 2$ かつ $b = 6$ である。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 6$

## 問題 (6)

1. 問題の内容

関数 $y = x^2$ において、$x$ の変域が $a \le x \le 1$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 9$ となった。このとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

関数 $y = x^2$ は、原点を頂点とする上に凸の放物線である。

$x = 1$ のとき、$y = (1)^2 = 1$ である。

$y$ の最大値は $9$ であることから、$x^2 = 9$ となる $x$ を求める。

$x = \pm 3$ であるが、$x$ の変域は $a \le x \le 1$ であるから、$a = -3$ ではない。

$y$ の最大値が $9$ となるのは、$x$ が負の値を取る場合である。

$a = -3$ とすると、$x = -3$ のとき $y = (-3)^2 = 9$ である。

したがって、$a = -3$ である。

$x = 1$ のとき $y = 1$ であり、$y$ の最小値は $b$ であるから、$b = 1$ である。

したがって、$a = -3$ かつ $b = 1$ である。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = 1$