2次関数 $y = ax^2$ のグラフが、2点A(3,1), B(3,9)を結ぶ線分ABと交わる。 (1) 定数 $a$ の取り得る値の範囲を求める。 (2) 線分ABとグラフの交点をPとする。$\triangle OAB$ の面積が $\triangle OAP$ の面積の2倍となるとき、 (ア) 点Pの座標を求める。 (イ) 定数 $a$ の値を求める。 (3) グラフ上にあり、$x$ 座標が5である点をQ、直線OQの傾きを $m$ とするとき、$m$ の取り得る値の範囲を求める。

## 問題11

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2$ のグラフが、2点A(3,1), B(3,9)を結ぶ線分ABと交わる。

(1) 定数 $a$ の取り得る値の範囲を求める。

(2) 線分ABとグラフの交点をPとする。$\triangle OAB$ の面積が $\triangle OAP$ の面積の2倍となるとき、

(ア) 点Pの座標を求める。

(イ) 定数 $a$ の値を求める。

(3) グラフ上にあり、$x$ 座標が5である点をQ、直線OQの傾きを $m$ とするとき、$m$ の取り得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABと $y=ax^2$ が交わる条件を考える。

- 点A,Bの座標を $y=ax^2$ に代入し、$a$ の範囲を求める。

- Aを通るとき $1 = a(3^2)$ なので $a = \frac{1}{9}$

- Bを通るとき $9 = a(3^2)$ なので $a = 1$

- $y=ax^2$ が線分ABと交わるためには、$\frac{1}{9} \le a \le 1$ が必要。

(2) (ア) $\triangle OAB$ の面積が $\triangle OAP$ の面積の2倍になる条件から、点Pの $y$ 座標を求める。

- 点Pは線分AB上にあるので、$y$ 座標は1と9の間である。

- $\triangle OAB$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (9 - 1) = 12$

- $\triangle OAP$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (y_P - 0) = \frac{3}{2}y_P$

- よって、 $12 = 2 \cdot \frac{3}{2} y_P$ なので $y_P = 4$

- 点Pは直線AB上にあるので、直線ABの方程式を求める。

- 直線ABの傾きは $\frac{9-1}{3-3}$ だが、これは計算できない。

- これは線分ABが $x=3$ の直線であることを意味する。

- 点Pの $x$ 座標は3なので、点Pの座標は (3, 4)

(イ) 点P(3,4) を $y=ax^2$ に代入し、$a$ を求める。

- $4 = a(3^2)$ なので $a = \frac{4}{9}$

(3) 点Qの座標は (5, $a \cdot 5^2$) = (5, $25a$)

- 直線OQの傾き $m$ は $\frac{25a - 0}{5 - 0} = 5a$

- (1)より、$\frac{1}{9} \le a \le 1$ なので、

- $\frac{5}{9} \le 5a \le 5$

- よって、$\frac{5}{9} \le m \le 5$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{9} \le a \le 1$

(2) (ア) P(3, 4)

(イ) $a = \frac{4}{9}$

(3) $\frac{5}{9} \le m \le 5$

## 問題12

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっており、その交点の $x$ 座標はそれぞれ -1, 5である。Oを原点とし、四角形AOPQ が長方形になるように、放物線上に点Pを、直線 $l$ 上に点Qをとる。

(1) 2点A,Bの座標と直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 点P, Qの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A,Bの座標を求める。

- Aのx座標は-1なので、Aのy座標は $y = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2}$。よってA(-1, $\frac{1}{2}$)

- Bのx座標は5なので、Bのy座標は $y = \frac{1}{2}(5)^2 = \frac{25}{2}$。よってB(5, $\frac{25}{2}$)

- 直線 $l$ の方程式を求める。

- 直線 $l$ は2点A,Bを通るので、傾きは $\frac{\frac{25}{2} - \frac{1}{2}}{5 - (-1)} = \frac{12}{6} = 2$

- 直線 $l$ の方程式は $y = 2x + b$ と表せる。

- 点A(-1, $\frac{1}{2}$) を通るので、$\frac{1}{2} = 2(-1) + b$ より、 $b = \frac{5}{2}$

- よって直線 $l$ の方程式は $y = 2x + \frac{5}{2}$

(2) 四角形AOPQ が長方形になる条件を考える。

- OPとAQが平行で、OAとPQが平行である。また、OAとAQが垂直である。

- OAの傾きは $\frac{\frac{1}{2} - 0}{-1 - 0} = -\frac{1}{2}$

- AQの傾きは OA の傾きの符号を変えた逆数になるので、2となる。

- 点Pは放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上にあるので、Pのx座標を $p$ とすると、P($p$, $\frac{1}{2}p^2$)

- 点Qは直線 $y = 2x + \frac{5}{2}$ 上にあるので、Qのx座標を $q$ とすると、Q($q$, $2q + \frac{5}{2}$)

- PQがx軸に平行なので $\frac{1}{2} p^2 = 2q + \frac{5}{2}$

- AQがy軸に平行なので $p = -1$

- 点Pの座標は P(-1, $\frac{1}{2}$)

- Qの $y$ 座標は $\frac{1}{2}$ なので $\frac{1}{2} = 2q + \frac{5}{2}$

- $2q = -2$ よって $q = -1$

- これはAの座標と同じなので、条件を満たさない。

- OPの傾きは $-\frac{1}{2}$なので、OQの傾きが2である。

- OPとAQは平行なので、AQの傾きも $-\frac{1}{2}$

- OAとPQは平行なので、PQの傾きは $-\frac{1}{2}$

- Qは直線$l$上にあるので $y_q = 2x_q + \frac{5}{2}$

- Aは放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上にあるので、Pの座標を (p, $\frac{1}{2}p^2$) とすると

- 点Pは放物線上にあり、点Qは直線上にある

- $x_p = x_q$なので $x_p = q$

- $y_p = 2x_q + \frac{5}{2}$

- 点Pの $x$ 座標を $p$ とすると、点Qの座標は($p, \frac{1}{2}p^2$)

- よって $2p + \frac{5}{2}$

- OAPQが長方形なので、$\frac{1}{2} x^2 = -\frac{1}{2}x$

- $x=0, -1$

3. 最終的な答え

(1) A(-1, $\frac{1}{2}$), B(5, $\frac{25}{2}$), 直線 $l$: $y = 2x + \frac{5}{2}$

(2) 点P, Q が存在しない。