定積分 $\int_1^3 x(x+5)(x-5) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^3 x(x+5)(x-5) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$x(x+5)(x-5) = x(x^2 - 25) = x^3 - 25x$

次に、不定積分を計算します。

$\int (x^3 - 25x) dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{25}{2}x^2 + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_1^3 (x^3 - 25x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{25}{2}x^2]_1^3$

$= (\frac{1}{4}(3^4) - \frac{25}{2}(3^2)) - (\frac{1}{4}(1^4) - \frac{25}{2}(1^2))$

$= (\frac{81}{4} - \frac{225}{2}) - (\frac{1}{4} - \frac{25}{2})$

$= \frac{81}{4} - \frac{450}{4} - \frac{1}{4} + \frac{50}{4}$

$= \frac{81 - 450 - 1 + 50}{4}$

$= \frac{-320}{4}$

$= -80$

3. 最終的な答え

-80