広義積分 $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

広義積分なので、まず積分範囲の下端を極限で置き換えます。

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I = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^{1} x \log x \, dx

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次に、部分積分を使って積分を計算します。

$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

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\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C

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したがって、

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\int_{\epsilon}^{1} x \log x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right]_{\epsilon}^{1} = \left( \frac{1^2}{2} \log 1 - \frac{1^2}{4} \right) - \left( \frac{\epsilon^2}{2} \log \epsilon - \frac{\epsilon^2}{4} \right) = \left( 0 - \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{\epsilon^2}{2} \log \epsilon - \frac{\epsilon^2}{4} \right) = -\frac{1}{4} - \frac{\epsilon^2}{2} \log \epsilon + \frac{\epsilon^2}{4}

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ここで、$\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^2 \log \epsilon = 0$ であることを利用します。（ロピタルの定理を使えば確認できます）

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\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^2 \log \epsilon = \lim_{\epsilon \to +0} \frac{\log \epsilon}{1/\epsilon^2} = \lim_{\epsilon \to +0} \frac{1/\epsilon}{-2/\epsilon^3} = \lim_{\epsilon \to +0} \frac{-\epsilon^2}{2} = 0

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よって、

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I = \lim_{\epsilon \to +0} \left( -\frac{1}{4} - \frac{\epsilon^2}{2} \log \epsilon + \frac{\epsilon^2}{4} \right) = -\frac{1}{4} - 0 + 0 = -\frac{1}{4}

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3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4}$