広義積分 $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int x \log x \, dx$ を部分積分で計算します。

$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ となります。

したがって、

$$\int x \log x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C$$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、広義積分を計算するために、極限を取ります。

$$\int_{0}^{1} x \log x \, dx = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} x \log x \, dx$$

$$= \lim_{a \to +0} \left[ \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 \right]_{a}^{1}$$

$$= \lim_{a \to +0} \left[ \left( \frac{1}{2}(1)^2 \log 1 - \frac{1}{4}(1)^2 \right) - \left( \frac{1}{2}a^2 \log a - \frac{1}{4}a^2 \right) \right]$$

$$= \lim_{a \to +0} \left[ \left( 0 - \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{1}{2}a^2 \log a - \frac{1}{4}a^2 \right) \right]$$

ここで、$\lim_{a \to +0} a^2 \log a = 0$ であることを利用します。（これは、ロピタルの定理などを用いて示すことができます。）

$$\lim_{a \to +0} \frac{\log a}{1/a^2} = \lim_{a \to +0} \frac{1/a}{-2/a^3} = \lim_{a \to +0} \frac{-a^2}{2} = 0$$

したがって、

$$\int_{0}^{1} x \log x \, dx = -\frac{1}{4} - \left( 0 - 0 \right) = -\frac{1}{4}$$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4}$