$0 \le x \le 2\pi$ において、2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ において、2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin x$ と $y = \cos x$ の交点を求める。

$\sin x = \cos x$ を解くと、$\tan x = 1$ より $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$。

$0 \le x \le 2\pi$ において、$\cos x \ge \sin x$ となる区間は $[0, \frac{\pi}{4}]$ と $[\frac{5\pi}{4}, 2\pi]$。

$\sin x \ge \cos x$ となる区間は $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$。

したがって、面積 $S$ は次のように計算できる。

$S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} (\cos x - \sin x) dx$

それぞれの積分を計算する。

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = (-\cos \frac{5\pi}{4} - \sin \frac{5\pi}{4}) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - (-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

$\int_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} = (\sin 2\pi + \cos 2\pi) - (\sin \frac{5\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{4}) = (0 + 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - (-\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$

$S = (\sqrt{2} - 1) + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2} + 1) = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$S = 4\sqrt{2}$

したがって、空欄に当てはまる数字はそれぞれ1: 4, 2: 2である。