(1) 関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} (2x - t) \cos t \, dt$ を微分し、$F'(x) = [1] \sin x + x \cos x - [2]$の $[1]$と$[2]$に入るものを答える問題です。 (2) 等式 $\int_{a}^{x} t^2 f(t) \, dt = e^x - 3$ を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$x > 0$とします。選択肢から答えを選びます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} (2x - t) \cos t \, dt$ を微分し、$F'(x) = [1] \sin x + x \cos x - [2]$の $[1]$と$[2]$に入るものを答える問題です。

(2) 等式 $\int_{a}^{x} t^2 f(t) \, dt = e^x - 3$ を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$x > 0$とします。選択肢から答えを選びます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$F(x)$ を積分記号の中で展開します。

$F(x) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} (2x \cos t - t \cos t) \, dt = 2x \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} \cos t \, dt - \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} t \cos t \, dt$

次に、$F(x)$ を $x$ で微分します。

$F'(x) = 2 \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} \cos t \, dt + 2x \frac{d}{dx} \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} \cos t \, dt - \frac{d}{dx} \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} t \cos t \, dt$

$F'(x) = 2 \int_{\frac{\pi}{6}}^{x} \cos t \, dt + 2x \cos x - x \cos x = 2 [\sin t]_{\frac{\pi}{6}}^{x} + x \cos x$

$F'(x) = 2 (\sin x - \sin \frac{\pi}{6}) + x \cos x = 2 \sin x - 2 (\frac{1}{2}) + x \cos x = 2 \sin x + x \cos x - 1$

したがって、$F'(x) = 2 \sin x + x \cos x - 1$なので、$[1]=2$、$[2]=1$

(2)

$\int_{a}^{x} t^2 f(t) \, dt = e^x - 3$の両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} t^2 f(t) \, dt = \frac{d}{dx} (e^x - 3)$

$x^2 f(x) = e^x$

$f(x) = \frac{e^x}{x^2}$

これを$\int_{a}^{x} t^2 f(t) \, dt = e^x - 3$に代入します。

$\int_{a}^{x} t^2 \frac{e^t}{t^2} \, dt = e^x - 3$

$\int_{a}^{x} e^t \, dt = e^x - 3$

$[e^t]_{a}^{x} = e^x - 3$

$e^x - e^a = e^x - 3$

$e^a = 3$

$a = \log 3$

3. 最終的な答え

(1) $[1]=2$, $[2]=1$

(2) $a = \log 3$（選択肢⑤）