(1) 曲線 $y = \sqrt{x}$ と直線 $y=2$、y軸に囲まれた部分をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。 (2) 曲線C: $x=3\cos t$, $y=3\sin t$ ($0 \le t \le 2\pi$) の長さを求めよ。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = \sqrt{x}$ と直線 $y=2$、y軸に囲まれた部分をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。

(2) 曲線C: $x=3\cos t$, $y=3\sin t$ ($0 \le t \le 2\pi$) の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x}$ より、$x = y^2$。回転体の体積Vは、

$V = \int_{0}^{2} \pi x^2 dy = \int_{0}^{2} \pi (y^2)^2 dy = \pi \int_{0}^{2} y^4 dy = \pi [\frac{y^5}{5}]_0^2 = \pi \frac{2^5}{5} = \frac{32}{5}\pi$

したがって、V = (32/5)π.

(2) $x=3\cos t$, $y=3\sin t$ より、$\frac{dx}{dt} = -3\sin t$, $\frac{dy}{dt} = 3\cos t$。

曲線の長さLは、

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2} dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t} dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t)} dt = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{9} dt = \int_{0}^{2\pi} 3 dt = 3[t]_0^{2\pi} = 3(2\pi) = 6\pi$

したがって、L = $6\pi$。

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{32}{5}\pi$

(2) $L = 6\pi$