全体集合 $U$ と部分集合 $A, B$ が与えられたとき、次の集合を求めます。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A \cap B}$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ と部分集合 $A, B$ が与えられたとき、次の集合を求めます。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A \cap B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A} \cap B$

(6) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

各集合について、補集合、共通部分、和集合の定義に従って考えます。

(1) $\overline{B}$ は、$B$ の補集合であり、$U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。

(2) $\overline{A \cap B}$ は、$A \cap B$ の補集合であり、ド・モルガンの法則より $\overline{A} \cup \overline{B}$ と等しくなります。

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分です。

(3) $\overline{A} \cap B$ は、$A$ の補集合 $\overline{A}$ と $B$ の共通部分です。

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$A$ の補集合 $\overline{A}$ と $B$ の補集合 $\overline{B}$ の和集合です。ド・モルガンの法則より $\overline{A \cap B}$ と等しくなります。

(5) $\overline{A} \cap B$ は、$A$ の補集合 $\overline{A}$ と $B$ の共通部分です。(3)と同じです。

(6) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $B$ の補集合 $\overline{B}$ の共通部分です。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$

(5) $\overline{A} \cap B$

(6) $A \cap \overline{B}$