(1) 楕円 $4x^2 + 9y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。 (2) 曲線 $C:\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases}$ ($0 \le t \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) 楕円 $4x^2 + 9y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

(2) 曲線 $C:\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases}$ ($0 \le t \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 楕円 $4x^2 + 9y^2 = 1$ は $\left(\frac{x}{1/2}\right)^2 + \left(\frac{y}{1/3}\right)^2 = 1$ と変形できるので、これは $x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍、 $y$ 軸方向に $\frac{1}{3}$ 倍した楕円である。単位円の面積は $\pi$ なので、求める面積は

$$S = \pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$$

(2) 曲線 $C$ は $0 \le t \le \pi$ で、$x = \cos t$, $y = \sin t$ で表される。これは $t=0$ で $(1,0)$, $t=\pi/2$ で $(0,1)$, $t=\pi$ で $(-1,0)$ となり、上半円を表す。したがって、$x$ 軸で囲まれた部分の面積は半径 $1$ の半円の面積に等しい。

$$S = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{\pi}{6}$

(2) $S = \frac{\pi}{2}$