与えられた問題は、以下の和を計算することです。 $\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_{k}$ これは、9個のものからk個を選ぶ組み合わせの数を、$k=1$から$k=8$まで足し合わせることを意味します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の和を計算することです。

$\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_{k}$

これは、9個のものからk個を選ぶ組み合わせの数を、$k=1$から$k=8$まで足し合わせることを意味します。

2. 解き方の手順

まず、二項定理を思い出します。

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_{k} x^k$

$x=1$を代入すると、

$2^n = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}C_{k}$

今回の問題では、$n=9$なので、

$2^9 = \sum_{k=0}^{9} {}_{9}C_{k}$

$2^9 = {}_{9}C_{0} + \sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_{k} + {}_{9}C_{9}$

$\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_{k} = 2^9 - {}_{9}C_{0} - {}_{9}C_{9}$

ここで、${}_{9}C_{0} = 1$ かつ ${}_{9}C_{9} = 1$であるから、

$\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_{k} = 2^9 - 1 - 1$

$\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_{k} = 2^9 - 2$

$2^9 = 512$であるから、

$\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_{k} = 512 - 2$

$\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_{k} = 510$

3. 最終的な答え

510