右の図は、2種類の三角定規を組み合わせた図である。$BC = 4$ として、$EF$ の長さを求める問題である。

1. 問題の内容

右の図は、2種類の三角定規を組み合わせた図である。$BC = 4$ として、$EF$ の長さを求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ は $45^\circ$ の角を持つ直角三角形であるため、直角二等辺三角形である。したがって、$AB = BC = 4$ である。

また、$BF = x$ とおくと、$CF = 4 - x$ となる。

$\triangle ABF$ は直角三角形なので、$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{4^2 + x^2} = \sqrt{16 + x^2}$ となる。

$\triangle EBC$ も直角二等辺三角形なので、$BE = EC$ となる。また、$\angle EBC = 45^\circ$ である。

$\triangle DEC$ は $30^\circ$ の角を持つ直角三角形なので、$EC = \frac{DC}{\sqrt{3}}$ であり、$DE = 2EC$ である。

また、$BF = EF$ であるため、$EF = x$ となる。

$AB = BC = 4$ より、$\angle BAC = 45^\circ$ であり、$\triangle ABE$ において、$AE$ の長さを考える。

$\triangle BCF$ において、$BF = EF$ より、$\angle EBF = \angle BEF$ である。

$\angle CBF = 90^\circ$ であるので、$\angle ABF = 90^\circ$ である。

$\triangle ABE$ と $\triangle DCE$ において、$AE + EC = AC$ および $BE + ED = BD$ である。

$\triangle DEC$ において、$EC = \sqrt{3} CD$ である。

また、$DE:EC:CD = 2:1:\sqrt{3}$ であるので、$DC = \sqrt{3} EC$ である。

$\angle EDC = 30^\circ$ なので、$EC = \frac{BC}{1+ \sqrt{3}}$ となる。

$EC = \frac{4}{1+\sqrt{3}} = \frac{4(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{4(1-\sqrt{3})}{1-3} = \frac{4(1-\sqrt{3})}{-2} = -2(1-\sqrt{3}) = 2(\sqrt{3}-1)$

$\triangle EBC$ は直角二等辺三角形なので、$EF$ は $BC$ の中点を通る。

$BF = EF$ なので、$EF = \frac{4}{1+\sqrt{3}} = 2(\sqrt{3}-1)$ である。

3. 最終的な答え

$EF = 2\sqrt{3} - 2$