与えられた数学の問題を解き、空欄を埋める。問題は多項式の展開、因数分解、二項定理、関数の最大値、複素数解を持つ3次方程式、2次関数の決定、三角比、集合、確率変数、確率の問題など、様々な分野に渡る。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解き、空欄を埋める。問題は多項式の展開、因数分解、二項定理、関数の最大値、複素数解を持つ3次方程式、2次関数の決定、三角比、集合、確率変数、確率の問題など、様々な分野に渡る。

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)(x-2)(x-3)(x-6)$ を展開する。

まず、$(x+1)(x-2) = x^2 -x -2$、 $(x-3)(x-6) = x^2 -9x + 18$。

次に、$(x^2 -x -2)(x^2 -9x + 18) = x^4 -9x^3 +18x^2 -x^3 +9x^2 -18x -2x^2 +18x -36 = x^4 -10x^3 +25x^2 -36$

(2) $x^2 + xy -4x -5y -5$を因数分解する。

$x^2 + xy -4x - 5y - 5 = x(x+y) -4x -5(y+1)$

$x^2 -4x + xy - 5y -5 = x(x-4) + y(x-5) - 5$

$x^2 + xy - 4x - 5y - 5 = x(x+y-4) - 5(y+1)$

$x^2 + xy - 4x - 5y - 5 = x^2 -4x + xy - 5y - 5 = x(x-4) + y(x-5) - 5$

正しい手順で因数分解すると、$x^2+xy-4x-5y-5 = (x-5)(x+y+1)$。

(3) $(3a-b)^4$ の展開式における $ab^3$ の項の係数を求める。

二項定理より、$(3a-b)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (3a)^{4-k} (-b)^k$。$ab^3$ の項は $k=3$ の時なので、$\binom{4}{3} (3a)^{4-3} (-b)^3 = 4 \cdot 3a \cdot (-b^3) = -12ab^3$。したがって、係数は -12。

(4) $(a-1)(\frac{4}{a} - 1) = 4 - a - \frac{4}{a} + 1 = 5 - (a + \frac{4}{a})$ を最大にする $a$ の値を求める。

相加相乗平均の関係より、$a + \frac{4}{a} \ge 2 \sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 2 \sqrt{4} = 4$。

等号成立は $a = \frac{4}{a}$ の時、つまり $a^2 = 4$。$a$ は正の実数なので、$a = 2$。

よって、$5 - (a + \frac{4}{a}) \le 5 - 4 = 1$。したがって、最大値は $a=2$ の時。

(5) $x^3 + ax^2 + bx - 13 = 0$ の解の1つが $2-3i$ のとき、$a, b$ を求める。

係数が実数なので、$2+3i$ も解。残りの解を $\alpha$ とすると、解と係数の関係より、

$(2-3i) + (2+3i) + \alpha = -a$

$(2-3i)(2+3i) + (2-3i)\alpha + (2+3i)\alpha = b$

$(2-3i)(2+3i)\alpha = 13$

$4 + 9 = 13$ なので、$(13)\alpha = 13$ より $\alpha = 1$。

$-a = 4 + 1 = 5$ より $a = -5$。

$b = 13 + (2-3i) + (2+3i) = 13 + 4 = 17$。

(6) 2次関数のグラフが3点 (0,3), (1, 2), (3, 6) を通るとき、その2次関数の方程式を求める。

$y = px^2 + qx + r$ とおく。

(0,3) を通るので、$r = 3$。

(1,2) を通るので、$p + q + 3 = 2$ より $p+q = -1$。

(3,6) を通るので、$9p + 3q + 3 = 6$ より $9p + 3q = 3$ より $3p+q = 1$。

$3p+q - (p+q) = 1 - (-1)$ より $2p = 2$ なので $p = 1$。

$1+q = -1$ より $q = -2$。

したがって、$y = x^2 -2x + 3$。

(7) $\triangle ABC$ において、$\frac{5}{\sin A} = \frac{4}{\sin B} = \frac{7}{\sin C}$ であるとき、$\cos C$ を求める。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ なので、$a=5k$, $b=4k$, $c=7k$ (k>0)。

余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ なので、$(7k)^2 = (5k)^2 + (4k)^2 - 2(5k)(4k) \cos C$。

$49k^2 = 25k^2 + 16k^2 - 40k^2 \cos C$

$49 = 25 + 16 - 40 \cos C$

$49 = 41 - 40 \cos C$

$8 = -40 \cos C$

$\cos C = -\frac{8}{40} = -\frac{1}{5}$

(8) $U = \{n | n は 1 以上 100 以下の整数\}$ を全体集合とし、$U$ の部分集合 $A, B, C$ を $A = \{n | n は 2 の倍数\}$, $B = \{n | n は 3 の倍数\}, C = \{n | n は 5 の倍数\}$ とする。このとき、集合 $A \cup B \cup C$ の要素の個数を求める。

$|A| = \lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

$|B| = \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

$|C| = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$

$|A \cap B| = \lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

$|B \cap C| = \lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6$

$|A \cap C| = \lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$

$|A \cap B \cap C| = \lfloor \frac{100}{30} \rfloor = 3$

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$

$= 50 + 33 + 20 - 16 - 6 - 10 + 3 = 74$

(9) サイコロを60回振るとき、1の目が出る回数Xの分散を求める。

1の目が出る確率は $p = \frac{1}{6}$。試行回数は $n = 60$。

分散 $V(X) = np(1-p) = 60 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = 10 \cdot \frac{5}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$

(10) 赤玉4個, 白玉2個の合計6個の玉が入った袋がある。この袋から玉を同時に3個取り出すとき、異なる2色の玉を取り出す確率を求める。

全事象は $\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$。

異なる2色の玉を取り出すのは、

(赤2, 白1) または (赤1, 白2)。

$\binom{4}{2} \binom{2}{1} + \binom{4}{1} \binom{2}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 6 \cdot 2 + 4 = 12 + 4 = 16$

確率は $\frac{16}{20} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

(ア) $x^4 - 10x^3 + 25x^2 - 36$

(イ) $(x-5)(x+y+1)$

(ウ) $-12$

(エ) $2$

(オ) $-5$

(カ) $17$

(キ) $y = x^2 - 2x + 3$

(ク) $-\frac{1}{5}$

(ケ) $74$

(コ) $\frac{25}{3}$

(サ) $\frac{4}{5}$