関数 $f(x)$ が与えられた等式 $f(x) = 2x^2 + 3x + \int_0^{\frac{1}{2}} f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられた等式 $f(x) = 2x^2 + 3x + \int_0^{\frac{1}{2}} f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\int_0^{\frac{1}{2}} f(t) dt$ は定数であることに着目し、これを $k$ とおく。

つまり、$k = \int_0^{\frac{1}{2}} f(t) dt$ とおく。

すると、$f(x)$ は次のように表される。

$f(x) = 2x^2 + 3x + k$

次に、この式を積分の中に代入して、$k$ の値を求める。

$k = \int_0^{\frac{1}{2}} f(t) dt = \int_0^{\frac{1}{2}} (2t^2 + 3t + k) dt$

積分を実行する。

$k = \left[ \frac{2}{3}t^3 + \frac{3}{2}t^2 + kt \right]_0^{\frac{1}{2}}$

$k = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^2 + k \left( \frac{1}{2} \right) - 0$

$k = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2}k$

$k = \frac{1}{12} + \frac{3}{8} + \frac{1}{2}k$

$k = \frac{2}{24} + \frac{9}{24} + \frac{1}{2}k$

$k = \frac{11}{24} + \frac{1}{2}k$

$k$ について解く。

$k - \frac{1}{2}k = \frac{11}{24}$

$\frac{1}{2}k = \frac{11}{24}$

$k = \frac{11}{12}$

最後に、$k$ の値を $f(x)$ の式に代入する。

$f(x) = 2x^2 + 3x + \frac{11}{12}$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x^2 + 3x + \frac{11}{12}$