曲線 $y = 2x^2 - 1$ と直線 $y = -x + 2$ で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^2 - 1$ と直線 $y = -x + 2$ で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 曲線と直線の交点の $x$ 座標を求めます。

$2x^2 - 1 = -x + 2$ を解きます。

$2x^2 + x - 3 = 0$

$(2x + 3)(x - 1) = 0$

$x = -\frac{3}{2}, 1$

したがって、交点の $x$ 座標は $-\frac{3}{2}$ と $1$ です。

(2) 定積分を用いて面積を計算します。

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{1} ((-x + 2) - (2x^2 - 1)) dx$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{1} (-2x^2 - x + 3) dx$

$S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x \right]_{-\frac{3}{2}}^{1}$

$S = \left( -\frac{2}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 + 3(1) \right) - \left( -\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)^3 - \frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) \right)$

$S = \left( -\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 3 \right) - \left( -\frac{2}{3}\left(-\frac{27}{8}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{9}{4}\right) - \frac{9}{2} \right)$

$S = \left( -\frac{4}{6} - \frac{3}{6} + \frac{18}{6} \right) - \left( \frac{9}{4} - \frac{9}{8} - \frac{36}{8} \right)$

$S = \frac{11}{6} - \left( \frac{18}{8} - \frac{9}{8} - \frac{36}{8} \right)$

$S = \frac{11}{6} - \left( \frac{-27}{8} \right)$

$S = \frac{11}{6} + \frac{27}{8}$

$S = \frac{44}{24} + \frac{81}{24}$

$S = \frac{125}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{125}{24}$