(1) 方程式 $3x^3 - 4^x = 0$ が開区間 $(1, 2)$ において少なくとも1つの解をもつことを示す。 (2) 関数 $y = 2x - \sqrt{x}$ は、閉区間 $[0, 1]$ で最大値、最小値をもつか。開区間 $(0, 1)$ ではどうか。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $3x^3 - 4^x = 0$ が開区間 $(1, 2)$ において少なくとも1つの解をもつことを示す。

(2) 関数 $y = 2x - \sqrt{x}$ は、閉区間 $[0, 1]$ で最大値、最小値をもつか。開区間 $(0, 1)$ ではどうか。

2. 解き方の手順

(1)

中間値の定理を利用する。関数 $f(x) = 3x^3 - 4^x$ を定義する。

$f(x)$ は連続関数である。$f(1)$ と $f(2)$ の符号を調べる。

$f(1) = 3(1)^3 - 4^1 = 3 - 4 = -1 < 0$

$f(2) = 3(2)^3 - 4^2 = 3(8) - 16 = 24 - 16 = 8 > 0$

$f(1) < 0$ かつ $f(2) > 0$ なので、中間値の定理より、開区間 $(1, 2)$ において $f(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも1つ存在する。したがって、方程式 $3x^3 - 4^x = 0$ は開区間 $(1, 2)$ において少なくとも1つの解をもつ。

(2)

閉区間 $[0, 1]$ において、$y = 2x - \sqrt{x}$ は連続である。したがって、最大値と最小値をもつ。

開区間 $(0, 1)$ において、最大値と最小値をもつかどうか調べる。

$y' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$2 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 2$

$1 = 4\sqrt{x}$

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{16}$

$x = \frac{1}{16}$ は $(0, 1)$ に含まれる。

$y(0) = 0$, $y(1) = 2 - 1 = 1$

$y(\frac{1}{16}) = 2(\frac{1}{16}) - \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{1}{8}$

したがって、閉区間 $[0, 1]$ で、最大値は $1$ ($x=1$ のとき), 最小値は $-\frac{1}{8}$ ($x=\frac{1}{16}$ のとき)。

開区間 $(0, 1)$ でも、最大値は $1$, 最小値は $-\frac{1}{8}$ をもつ。

3. 最終的な答え

(1) 方程式 $3x^3 - 4^x = 0$ は開区間 $(1, 2)$ において少なくとも1つの解をもつ。

(2) 関数 $y = 2x - \sqrt{x}$ は、閉区間 $[0, 1]$ で最大値と最小値をもつ。開区間 $(0, 1)$ でも最大値と最小値をもつ。