$x \le 1$ で定義された関数 $f(x) = \sqrt{1-x}$ は連続であることを示してください。

1. 問題の内容

$x \le 1$ で定義された関数 $f(x) = \sqrt{1-x}$ は連続であることを示してください。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = \sqrt{1-x}$ が連続であることを示すには、定義域内の任意の点 $c$ に対して、

$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$

が成り立つことを示す必要があります。

まず、$x \le 1$ という条件から、$c \le 1$ であることに注意します。

$f(c) = \sqrt{1-c}$ となります。

次に、極限 $\lim_{x \to c} f(x)$ を計算します。

$f(x) = \sqrt{1-x}$ なので、$\lim_{x \to c} \sqrt{1-x}$ を計算します。

根号の中身は $1-x$ であり、$x \to c$ のとき、$1-x \to 1-c$ となります。

$c \le 1$ なので、$1-c \ge 0$ です。

したがって、

$\lim_{x \to c} \sqrt{1-x} = \sqrt{\lim_{x \to c} (1-x)} = \sqrt{1-c}$

となります。

$\lim_{x \to c} f(x) = \sqrt{1-c}$ であり、$f(c) = \sqrt{1-c}$ なので、$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ が成り立ちます。

したがって、関数 $f(x) = \sqrt{1-x}$ は $x \le 1$ の範囲で連続です。

特に、$x=1$のときには、左からの極限を考えます。$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = 0$となるので、やはり連続です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = \sqrt{1-x}$ は $x \le 1$ で連続である。