関数 $f(x) = \sqrt{1-x}$ が $x \le 1$ で連続であることを示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{1-x}$ が $x \le 1$ で連続であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、

1. $f(a)$ が定義されている

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

が成り立つことをいいます。

$x \le 1$ の任意の $a$ に対して、$f(a) = \sqrt{1-a}$ は定義されています。

次に、極限 $\lim_{x \to a} f(x)$ を考えます。

$f(x) = \sqrt{1-x}$ は連続関数なので、$x \to a$ のとき、$f(x) \to f(a)$ が成り立ちます。

したがって、

$$$$

\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} \sqrt{1-x} = \sqrt{1-a} = f(a)

$$$$

が成り立ちます。

ただし、$a=1$ の場合は、左からの極限のみを考えます。すなわち、

$$$$

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \sqrt{1-x} = \sqrt{1-1} = 0 = f(1)

$$$$

となります。

以上より、$x \le 1$ の任意の $a$ に対して、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つので、$f(x)$ は $x \le 1$ で連続です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = \sqrt{1-x}$ は $x \le 1$ で連続である。