関数 $f(x)$ を求める問題です。 与えられた等式は積分方程式であり、$f(x) = \int_0^1 x^2tf(t)dt + x + 1$ です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ を求める問題です。

与えられた等式は積分方程式であり、$f(x) = \int_0^1 x^2tf(t)dt + x + 1$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\int_0^1 tf(t)dt$ は定数なので、これを $A$ とおきます。つまり、

$A = \int_0^1 tf(t)dt$

このとき、$f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = x^2 A + x + 1$

これを $A$ の定義式に代入します。

$A = \int_0^1 t(t^2A + t + 1)dt$

$A = \int_0^1 (At^3 + t^2 + t)dt$

$A = A\int_0^1 t^3 dt + \int_0^1 t^2 dt + \int_0^1 t dt$

それぞれの積分を計算します。

$\int_0^1 t^3 dt = [\frac{1}{4}t^4]_0^1 = \frac{1}{4}$

$\int_0^1 t^2 dt = [\frac{1}{3}t^3]_0^1 = \frac{1}{3}$

$\int_0^1 t dt = [\frac{1}{2}t^2]_0^1 = \frac{1}{2}$

したがって、$A$ は次のようになります。

$A = A \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{4}A + \frac{5}{6}$

両辺に4を掛けて整理します。

$4A = A + \frac{10}{3}$

$3A = \frac{10}{3}$

$A = \frac{10}{9}$

これを $f(x) = x^2 A + x + 1$ に代入します。

$f(x) = \frac{10}{9}x^2 + x + 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{10}{9}x^2 + x + 1$