$(3a-b)^4$ の展開式における $ab^3$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3a-b)^4$ の展開式における $ab^3$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(3a-b)^4$ を展開します。二項定理より、

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k x^{n-k} y^k$$

この問題では $x=3a$, $y=-b$, $n=4$ なので、

$$(3a-b)^4 = \sum_{k=0}^4 {}_4 C_k (3a)^{4-k} (-b)^k$$

$ab^3$ の項は、$k=3$ のときにあらわれます。

$k=3$ の項は、

$${}_4 C_3 (3a)^{4-3} (-b)^3 = {}_4 C_3 (3a)^1 (-b)^3 = 4 \cdot 3a \cdot (-b^3) = -12ab^3$$

したがって、$ab^3$ の係数は $-12$ です。

3. 最終的な答え

-12