$a$ を正の実数とするとき、$(a-1)(\frac{4}{a}-1)$ が最大となる $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とするとき、$(a-1)(\frac{4}{a}-1)$ が最大となる $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(a-1)(\frac{4}{a}-1) = a \cdot \frac{4}{a} - a - \frac{4}{a} + 1 = 4 - a - \frac{4}{a} + 1 = 5 - a - \frac{4}{a}$.

この式を最大化するには、$a + \frac{4}{a}$ を最小化すればよいことがわかります。

$a$ は正の実数なので、相加平均・相乗平均の関係が使えます。

$a + \frac{4}{a} \ge 2 \sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 2 \sqrt{4} = 4$

等号成立は $a = \frac{4}{a}$ のとき、すなわち $a^2 = 4$ のときです。$a$ は正の実数なので、$a = 2$ となります。

したがって、$a + \frac{4}{a}$ の最小値は $4$ で、$a = 2$ のときに実現します。

$(a-1)(\frac{4}{a}-1)$ は $a + \frac{4}{a}$ が最小のときに最大となるので、$a = 2$ のときに最大となります。

このとき、$(a-1)(\frac{4}{a}-1) = 5 - (a + \frac{4}{a}) = 5 - 4 = 1$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2$