直角三角形ABCにおいて、$AB=6, AC=3\sqrt{3}, \angle BAC = 90^\circ$である。斜辺BC上に点Dを$\angle BAD = 60^\circ$となるようにとる。 (1) 辺ADの長さを求めよ。 (2) 辺CDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$AB=6, AC=3\sqrt{3}, \angle BAC = 90^\circ$である。斜辺BC上に点Dを$\angle BAD = 60^\circ$となるようにとる。

(1) 辺ADの長さを求めよ。

(2) 辺CDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 辺ADの長さを求める。

まず、三角形ABCの面積を計算する。

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

次に、三角形ABDの面積をADを用いて表す。

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\angle BAD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AD \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}AD$

次に、三角形ACDの面積をADを用いて表すために、$\angle CAD$を求める。

$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{\angle CAD} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot AD \cdot \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot AD \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}AD$

$\triangle ABD + \triangle ACD = \triangle ABC$ より、

$\frac{3\sqrt{3}}{2}AD + \frac{3\sqrt{3}}{4}AD = 9\sqrt{3}$

$\frac{6\sqrt{3}}{4}AD + \frac{3\sqrt{3}}{4}AD = 9\sqrt{3}$

$\frac{9\sqrt{3}}{4}AD = 9\sqrt{3}$

$AD = \frac{9\sqrt{3} \cdot 4}{9\sqrt{3}}$

$AD = 4$

(2) 辺CDの長さを求める。

まず、BCの長さを求める。ピタゴラスの定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + (3\sqrt{3})^2 = 36 + 27 = 63$

$BC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$

次に、$\triangle ABD$に正弦定理を用いる。$\angle ADB = \theta$とおく。

$\frac{AB}{\sin{\theta}} = \frac{AD}{\sin{\angle ABD}}$

まず$\angle ABD$を計算する。$\angle ACB = \alpha$とする。

$\tan{\alpha} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\alpha = \arctan{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$

$\angle ABC = 90^\circ - \alpha$

$\triangle ABD$において、$AD=4$, $AB=6$, $\angle BAD = 60^\circ$, $\angle ABD = 90^\circ - \alpha$

$\angle ADB = 180^\circ - 60^\circ - (90^\circ - \alpha) = 30^\circ + \alpha$

$\frac{6}{\sin{(30^\circ + \alpha)}} = \frac{4}{\sin{(90^\circ - \alpha)}} = \frac{4}{\cos{\alpha}}$

$\cos{\alpha} = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

$\sin{(30^\circ + \alpha)} = \sin{30^\circ}\cos{\alpha} + \cos{30^\circ}\sin{\alpha} = \frac{1}{2}\cos{\alpha} + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}$

$\sin{\alpha} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{3\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

$\sin{(30^\circ + \alpha)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} + \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

$\frac{6}{\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$

$\frac{12\sqrt{7}}{3\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

$\triangle ABD$に余弦定理を用いると、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cos{60^\circ} = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 36 + 16 - 24 = 28$

$BD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

$CD = BC - BD = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) AD = 4

(2) CD = $\sqrt{7}$