一辺が2cmの立方体ABCD-EFGHにおいて、4点A, B, C, Fを頂点とする三角錐ABCFについて、以下の問題を解く。 (1) 三角形ABCの面積を求める。 (2) 三角形ABCを底面としたときの、三角錐ABCFの体積を求める。 (3) 三角形ACFの面積を求める。 (4) 点Bから平面ACFに下ろした垂線の足Iとしたとき、線分BIの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺が2cmの立方体ABCD-EFGHにおいて、4点A, B, C, Fを頂点とする三角錐ABCFについて、以下の問題を解く。

(1) 三角形ABCの面積を求める。

(2) 三角形ABCを底面としたときの、三角錐ABCFの体積を求める。

(3) 三角形ACFの面積を求める。

(4) 点Bから平面ACFに下ろした垂線の足Iとしたとき、線分BIの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積

三角形ABCは、AB = BC = 2 cm, 角ABC = 90度の直角二等辺三角形である。

よって、面積は、

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$

(2) 三角錐ABCFの体積

三角形ABCを底面とすると、高さはBFである。BF = 2 cmであるから、三角錐ABCFの体積は、

$V_{ABCF} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times BF = \frac{1}{3} \times 2 \times 2 = \frac{4}{3}$

(3) 三角形ACFの面積

三角形ACFは、AC = CF = AF = $2\sqrt{2}$ cmの正三角形である。

よって、面積は、

$S_{ACF} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8 = 2\sqrt{3}$

(4) 線分BIの長さ

三角錐ABCFの体積は $\frac{4}{3}$ である。三角形ACFを底面としたとき、高さはBIである。

よって、

$V_{ABCF} = \frac{1}{3} \times S_{ACF} \times BI$

$\frac{4}{3} = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{3} \times BI$

$BI = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形ABCの面積: $2 cm^2$

(2) 三角錐ABCFの体積: $\frac{4}{3} cm^3$

(3) 三角形ACFの面積: $2\sqrt{3} cm^2$

(4) 線分BIの長さ: $\frac{2\sqrt{3}}{3} cm$