長方形ABCDがあり、$AB = 3$ cm, $AD = 5$ cmです。辺DC上に点Fがあり、線分AFで三角形AFDを折り返すと、頂点Dが辺BC上の点Eと重なります。以下の問題を解いてください。 (1) 線分BEの長さを求めよ。 (2) 線分EFの長さを求めよ。 (3) 直線DEと直線AFの交点をGとするとき、AG:GFを求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB = 3$ cm, $AD = 5$ cmです。辺DC上に点Fがあり、線分AFで三角形AFDを折り返すと、頂点Dが辺BC上の点Eと重なります。以下の問題を解いてください。

(1) 線分BEの長さを求めよ。

(2) 線分EFの長さを求めよ。

(3) 直線DEと直線AFの交点をGとするとき、AG:GFを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分BEの長さを求める。

三角形AFEと三角形AFDは合同なので、$AE = AD = 5$ cmです。直角三角形ABEにおいて、ピタゴラスの定理より、

$AE^2 = AB^2 + BE^2$

$5^2 = 3^2 + BE^2$

$25 = 9 + BE^2$

$BE^2 = 16$

$BE = 4$ cm

(2) 線分EFの長さを求める。

$EC = BC - BE = 5 - 4 = 1$ cmです。

三角形EFCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、

$EF^2 = EC^2 + FC^2$

$DF = EF$です。$DC = 3$ cmなので、$FC = 3 - DF = 3 - EF$

$EF^2 = 1^2 + (3 - EF)^2$

$EF^2 = 1 + 9 - 6EF + EF^2$

$6EF = 10$

$EF = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ cm

(3) 直線DEと直線AFとの交点をGとするとき、AG:GFを求める。

$DF = EF = \frac{5}{3}$ cmなので、$AF = \sqrt{AD^2 + DF^2} = \sqrt{5^2 + (\frac{5}{3})^2} = \sqrt{25 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{25 \times 10}{9}} = \frac{5\sqrt{10}}{3}$

$CF = 3 - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$

直線DEとAFの交点をGとすると、メネラウスの定理より、

$\frac{AG}{GF} \times \frac{FC}{CE} \times \frac{EB}{BA} = 1$

$\frac{AG}{GF} \times \frac{4/3}{1} \times \frac{4}{3} = 1$

$\frac{AG}{GF} \times \frac{16}{9} = 1$

$\frac{AG}{GF} = \frac{9}{16}$

$AG:GF = 9:16$

3. 最終的な答え

(1) BE = 4 cm

(2) EF = $\frac{5}{3}$ cm

(3) AG:GF = 9:16