2次関数 $y = 2x^2 + 3x + m$ のグラフについて、次の問いに答えます。 (1) グラフがx軸と異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (2) グラフがx軸と共有点を持たないような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 3x + m$ のグラフについて、次の問いに答えます。

(1) グラフがx軸と異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(2) グラフがx軸と共有点を持たないような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = 2x^2 + 3x + m$ のグラフがx軸と異なる2点で交わる条件は、2次方程式 $2x^2 + 3x + m = 0$ が異なる2つの実数解を持つことです。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ であることが条件となります。

判別式 $D$ は $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot m = 9 - 8m$ となります。

したがって、$9 - 8m > 0$ を解けば、$m$ の範囲が求まります。

$9 - 8m > 0$

$-8m > -9$

$m < \frac{9}{8}$

(2) 2次関数 $y = 2x^2 + 3x + m$ のグラフがx軸と共有点を持たない条件は、2次方程式 $2x^2 + 3x + m = 0$ が実数解を持たないことです。

これは、判別式 $D$ が $D < 0$ であることを意味します。

$D = 9 - 8m$ なので、$9 - 8m < 0$ を解けば、$m$ の範囲が求まります。

$9 - 8m < 0$

$-8m < -9$

$m > \frac{9}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $m < \frac{9}{8}$

(2) $m > \frac{9}{8}$