ベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}$ をベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とベクトル $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ の一次結合で表すときの係数を求める。つまり、$\mathbf{v} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2$ となる $c_1$ と $c_2$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}$ をベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とベクトル $\mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ の一次結合で表すときの係数を求める。つまり、$\mathbf{v} = c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2$ となる $c_1$ と $c_2$ を求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\mathbf{v}$ を $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ の一次結合で表すと、以下のようになる。

$\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

この式から、以下の連立方程式が得られる。

$c_1 - c_2 = -3$

$c_1 - 2c_2 = -4$

$c_1 - c_2 = -3$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$(c_1 - 2c_2) - (c_1 - c_2) = -4 - (-3)$

$-c_2 = -1$

$c_2 = 1$

$c_2 = 1$ を1番目の式に代入すると、

$c_1 - 1 = -3$

$c_1 = -2$

したがって、$c_1 = -2$ と $c_2 = 1$ である。

3. 最終的な答え

$\mathbf{v} = -2\mathbf{a}_1 + 1\mathbf{a}_2$