整式 $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると $2x-1$ 余り、$x-2$ で割ると $5$ 余るとき、$P(x)$ を $(x-1)^2(x-2)$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると $2x-1$ 余り、$x-2$ で割ると $5$ 余るとき、$P(x)$ を $(x-1)^2(x-2)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-1)^2(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると、

$$P(x) = (x-1)^2(x-2)Q(x) + R(x)$$

$R(x)$ は2次以下の整式であるから、$R(x) = ax^2+bx+c$ とおくことができる。

したがって、

$$P(x) = (x-1)^2(x-2)Q(x) + ax^2+bx+c$$

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $2x-1$ であるから、$ax^2+bx+c$ を $(x-1)^2$ で割った余りも $2x-1$ である。

したがって、$ax^2+bx+c = a(x-1)^2+2x-1 = a(x^2-2x+1)+2x-1 = ax^2-2ax+a+2x-1 = ax^2+(2-2a)x+a-1$ と表せる。

よって、$R(x) = a(x-1)^2+2x-1$ であるから、

$$P(x) = (x-1)^2(x-2)Q(x) + a(x-1)^2+2x-1$$

また、$P(2) = 5$ であるから、

$$P(2) = (2-1)^2(2-2)Q(2) + a(2-1)^2+2(2)-1 = a+4-1 = a+3 = 5$$

よって、$a = 2$ である。

したがって、$R(x) = 2(x-1)^2+2x-1 = 2(x^2-2x+1)+2x-1 = 2x^2-4x+2+2x-1 = 2x^2-2x+1$

3. 最終的な答え

$2x^2-2x+1$