与えられた指数方程式を解きます。ここでは問題番号(4), (5), (6)の3つの問題について解答します。 (4) $4^{-2x+2} + 4^x = 0$ (5) $\frac{1}{9} \times 3^{2x} - \frac{2}{3} \times 3^x + 1 = 0$ (6) $\frac{4^{2x}}{4} - \frac{3}{4} \times 2^{2x-1} = 0$

1. 問題の内容

与えられた指数方程式を解きます。ここでは問題番号(4), (5), (6)の3つの問題について解答します。

(4) $4^{-2x+2} + 4^x = 0$

(5) $\frac{1}{9} \times 3^{2x} - \frac{2}{3} \times 3^x + 1 = 0$

(6) $\frac{4^{2x}}{4} - \frac{3}{4} \times 2^{2x-1} = 0$

2. 解き方の手順

(4) $4^{-2x+2} + 4^x = 0$

まず、$4^{-2x+2}$ を変形します。

$4^{-2x+2} = 4^{-2x} \times 4^2 = 16 \times (4^{-2})^x = 16 \times (4^x)^{-2}$

よって、方程式は

$16 \times (4^x)^{-2} + 4^x = 0$

ここで、$y = 4^x$ とおくと、$y > 0$ であり、方程式は

$\frac{16}{y^2} + y = 0$

両辺に $y^2$ をかけると

$16 + y^3 = 0$

$y^3 = -16$

$y = \sqrt[3]{-16} = -2\sqrt[3]{2}$

$4^x = -2\sqrt[3]{2}$

しかし、$4^x > 0$ であるので、この方程式は実数解を持ちません。

(5) $\frac{1}{9} \times 3^{2x} - \frac{2}{3} \times 3^x + 1 = 0$

ここで、$y = 3^x$ とおくと、$y > 0$ であり、方程式は

$\frac{1}{9} y^2 - \frac{2}{3} y + 1 = 0$

両辺に9をかけると

$y^2 - 6y + 9 = 0$

$(y-3)^2 = 0$

$y = 3$

$3^x = 3$

$x = 1$

(6) $\frac{4^{2x}}{4} - \frac{3}{4} \times 2^{2x-1} = 0$

$\frac{4^{2x}}{4} = \frac{3}{4} \times 2^{2x-1}$

$4^{2x} = 3 \times 2^{2x-1}$

$(2^2)^{2x} = 3 \times 2^{2x-1}$

$2^{4x} = 3 \times 2^{2x-1}$

$2^{4x} = 3 \times 2^{2x} \times 2^{-1}$

$2^{4x} = \frac{3}{2} \times 2^{2x}$

ここで、$y = 2^{2x}$ とおくと、$y > 0$ であり、方程式は

$y^2 = \frac{3}{2} y$

$y^2 - \frac{3}{2} y = 0$

$y (y - \frac{3}{2}) = 0$

$y = 0$ または $y = \frac{3}{2}$

$y > 0$ より、$y = \frac{3}{2}$

$2^{2x} = \frac{3}{2}$

$2x = \log_2 (\frac{3}{2})$

$2x = \log_2 3 - \log_2 2$

$2x = \log_2 3 - 1$

$x = \frac{\log_2 3 - 1}{2}$

3. 最終的な答え

(4) 解なし

(5) $x = 1$

(6) $x = \frac{\log_2 3 - 1}{2}$