次の2つの方程式を解きます。 (1) $8^x - 4^x - 2^{x+1} + 2 = 0$ (2) $\log_2(x+1) + \log_4(4-x) = 2$

1. 問題の内容

次の2つの方程式を解きます。

(1) $8^x - 4^x - 2^{x+1} + 2 = 0$

(2) $\log_2(x+1) + \log_4(4-x) = 2$

2. 解き方の手順

(1)

$8^x - 4^x - 2^{x+1} + 2 = 0$ を解きます。

$8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$

ここで、$2^x = t$ とおくと、$t>0$ であり、

$t^3 - t^2 - 2t + 2 = 0$

$t^2(t-1) - 2(t-1) = 0$

$(t^2-2)(t-1) = 0$

したがって、$t = 1, \pm \sqrt{2}$

$t > 0$ より、$t = 1, \sqrt{2}$

$2^x = 1$ のとき、$x = 0$

$2^x = \sqrt{2} = 2^{1/2}$ のとき、$x = 1/2$

(2)

$\log_2(x+1) + \log_4(4-x) = 2$ を解きます。

真数条件より、$x+1 > 0$ かつ $4-x > 0$ である必要があります。

したがって、$-1 < x < 4$

$\log_2(x+1) + \frac{\log_2(4-x)}{\log_2 4} = 2$

$\log_2(x+1) + \frac{\log_2(4-x)}{2} = 2$

$2\log_2(x+1) + \log_2(4-x) = 4$

$\log_2(x+1)^2 + \log_2(4-x) = \log_2 16$

$\log_2((x+1)^2(4-x)) = \log_2 16$

$(x+1)^2(4-x) = 16$

$(x^2+2x+1)(4-x) = 16$

$4x^2+8x+4-x^3-2x^2-x = 16$

$-x^3+2x^2+7x-12 = 0$

$x^3-2x^2-7x+12 = 0$

$(x-3)(x^2+x-4) = 0$

$x=3$ または $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

$-1 < x < 4$ より、$x=3, \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$

$x = \frac{-1-\sqrt{17}}{2} \approx -2.56 < -1$ より、不適。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0, \frac{1}{2}$

(2) $x = 3, \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$