様々な角度 $\theta$ に対する三角比 ($\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$) の値を表にまとめる問題です。$\theta$ は $0^\circ$ から $180^\circ$ まで、 $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ$ の値を求めます。

1. 問題の内容

様々な角度 $\theta$ に対する三角比 ($\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$) の値を表にまとめる問題です。$\theta$ は $0^\circ$ から $180^\circ$ まで、 $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

三角比の定義および、単位円を用いた三角比の拡張の知識を用いて、各角度に対する $\sin$, $\cos$, $\tan$ の値を求めます。

* $\sin \theta$ の値:

* $\sin 0^\circ = 0$

* $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

* $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\sin 90^\circ = 1$

* $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

* $\sin 180^\circ = 0$

* $\cos \theta$ の値:

* $\cos 0^\circ = 1$

* $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

* $\cos 90^\circ = 0$

* $\cos 120^\circ = \cos (180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

* $\cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\cos 180^\circ = -1$

* $\tan \theta$ の値:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて計算します。

* $\tan 0^\circ = \frac{0}{1} = 0$

* $\tan 30^\circ = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

* $\tan 45^\circ = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$

* $\tan 60^\circ = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

* $\tan 90^\circ$ は定義されません。

* $\tan 120^\circ = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$

* $\tan 135^\circ = \frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = -1$

* $\tan 150^\circ = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

* $\tan 180^\circ = \frac{0}{-1} = 0$

3. 最終的な答え

| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $120^\circ$ | $135^\circ$ | $150^\circ$ | $180^\circ$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| $\sin \theta$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |

| $\cos \theta$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ |

| $\tan \theta$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | 定義されない | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ |