与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ についての2次式として整理します。

$x^2 + (-y+3)x + (-6y^2+y+2)$

定数項 $-6y^2 + y + 2$ を因数分解します。

$-6y^2 + y + 2 = -(6y^2 - y - 2) = -(2y+1)(3y-2) = (2y+1)(-3y+2)$

次に、$x^2 + (-y+3)x + (2y+1)(-3y+2)$ が $(x + ay+b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定します。

このとき、$ac=-6$、$ad+bc=-1$、$bd=2$、$a+c=-1$、$b+d=3$が成立します。

すると、

$x^2 + (a+c)xy + (b+d)x + acy^2 + (ad+bc)y + bd$

$(2y+1)$と$(-3y+2)$を参考にすると、

$x$の係数に着目して、$x^2 + (2y+1)(-3y+2)$を変形させます。

$(x+2y+1)(x-3y+2)=x^2 -3xy+2x +2xy -6y^2 +4y +x-3y+2 = x^2 -xy -6y^2 +3x +y +2$

したがって、因数分解の結果は $(x+2y+1)(x-3y+2)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x+2y+1)(x-3y+2)$