$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$ を計算する。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$ を計算する。

2. 解き方の手順

分子と分母に $\sqrt{x} + 1$ を掛けて、分子を有理化する。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

分子を展開すると

$(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

ここで $x \ne 1$ であるから、 $x - 1$ で約分できる。

$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

$x \to 1$ のとき $\sqrt{x} \to \sqrt{1} = 1$ であるから、

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$