問題9(1)は、等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$のとき、$S_n$を求め、また$S_{30}$を求める問題です。

1. 問題の内容

問題9(1)は、等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$のとき、$S_n$を求め、また$S_{30}$を求める問題です。

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式は、$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$で与えられます。ここで、$a$は初項、$d$は公差です。

$S_{10} = 100$ と $S_{20} = 400$ の情報から、$a$ と $d$ に関する連立方程式を立てて解きます。

$S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9d) = 5(2a + 9d) = 100$

$S_{20} = \frac{20}{2} (2a + 19d) = 10(2a + 19d) = 400$

これらの式を整理すると、

$2a + 9d = 20$

$2a + 19d = 40$

上の式から下の式を引くと、

$10d = 20$

$d = 2$

$d = 2$ を $2a + 9d = 20$ に代入すると、

$2a + 9(2) = 20$

$2a + 18 = 20$

$2a = 2$

$a = 1$

したがって、初項は$a = 1$, 公差は$d = 2$です。

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$に$a=1$, $d=2$を代入すると、

$S_n = \frac{n}{2} (2(1) + (n-1)(2)) = \frac{n}{2} (2 + 2n - 2) = \frac{n}{2} (2n) = n^2$

$S_n = n^2$

$S_{30}$を求めるには、$S_n = n^2$に$n = 30$を代入します。

$S_{30} = (30)^2 = 900$

3. 最終的な答え

$S_n = n^2$

$S_{30} = 900$