ある等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_{10} = 100$、 $S_{20} = 400$のとき、$S_n$を求めよ。また、$S_{30}$を求めよ。

## 問題9 (1)

1. 問題の内容

ある等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_{10} = 100$、 $S_{20} = 400$のとき、$S_n$を求めよ。また、$S_{30}$を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式は、$S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$である。ここで、$a$は初項、$d$は公差である。

$S_{10} = 100$より、

$\frac{10}{2} (2a + 9d) = 100$

$5(2a + 9d) = 100$

$2a + 9d = 20$ (1)

$S_{20} = 400$より、

$\frac{20}{2} (2a + 19d) = 400$

$10(2a + 19d) = 400$

$2a + 19d = 40$ (2)

(2) - (1)より、

$10d = 20$

$d = 2$

$d=2$を(1)に代入すると、

$2a + 9(2) = 20$

$2a + 18 = 20$

$2a = 2$

$a = 1$

したがって、

$S_n = \frac{n}{2} \{2(1) + (n-1)2\} = \frac{n}{2} (2 + 2n - 2) = \frac{n}{2} (2n) = n^2$

$S_n = n^2$

$S_{30} = (30)^2 = 900$

3. 最終的な答え

$S_n = n^2$

$S_{30} = 900$