三角形ABCにおいて、$a=9$, $B=45^\circ$, $C=75^\circ$ のとき、外接円の半径Rとbの値を求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=9$, $B=45^\circ$, $C=75^\circ$ のとき、外接円の半径Rとbの値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、角Aを求める。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$ であるから、外接円の半径Rを求める。

$\frac{9}{\sin 60^\circ} = 2R$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{18}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$

次に、正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = 2R$ であるから、bを求める。

$\frac{b}{\sin 45^\circ} = 2R$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$R = 3\sqrt{3}$ なので、

$\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 \times 3\sqrt{3}$

$\frac{2b}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{3}$

$2b = 6\sqrt{3} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$

$b = 3\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

外接円の半径 R = $3\sqrt{3}$

b = $3\sqrt{6}$