半径 $r$ の球があり、その体積を $V$ とする。球面上に点 A を取り、線分 OA の中点を M とする。点 M を通り OA に垂直な平面で球を 2 つに分け、小さい方の部分の体積を $V_1$ とするとき、$ \frac{1}{7}V < V_1 < \frac{1}{6}V $ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$ の球があり、その体積を $V$ とする。球面上に点 A を取り、線分 OA の中点を M とする。点 M を通り OA に垂直な平面で球を 2 つに分け、小さい方の部分の体積を $V_1$ とするとき、$\frac{1}{7}V < V_1 < \frac{1}{6}V$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

球の体積 $V$ は $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ である。

点 M を通り OA に垂直な平面で分割された小さい方の球の部分は、球冠と呼ばれる。球冠の高さ $h$ は $r/2$ である。

球冠の体積 $V_1$ は、

$V_1 = \frac{1}{3}\pi h^2 (3r - h)$

$h = r/2$ を代入して、

$V_1 = \frac{1}{3}\pi (\frac{r}{2})^2 (3r - \frac{r}{2})$

$V_1 = \frac{1}{3}\pi \frac{r^2}{4} (\frac{5r}{2})$

$V_1 = \frac{5}{24}\pi r^3$

ここで、$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ より、$\pi r^3 = \frac{3}{4}V$ であるから、

$V_1 = \frac{5}{24} \cdot \frac{3}{4}V = \frac{15}{96}V = \frac{5}{32}V$

したがって、$V_1 = \frac{5}{32}V$ である。

ここで、$\frac{1}{7} = \frac{32}{224} \approx 0.143$ および $\frac{1}{6} = \frac{32}{192} \approx 0.167$ であり、$\frac{5}{32} \approx 0.156$ である。

$\frac{1}{7} < \frac{5}{32} < \frac{1}{6}$ を示す。

$\frac{1}{7} < \frac{5}{32}$ を示す。

$32 < 35$ であるから、これは正しい。

$\frac{5}{32} < \frac{1}{6}$ を示す。

$30 < 32$ であるから、これは正しい。

したがって、$\frac{1}{7}V < V_1 < \frac{1}{6}V$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{7}V < V_1 < \frac{1}{6}V$