関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表します。 (2) $x \le -1$ の範囲で $x$ が動くとき、$f(x)$ のとりうる値の範囲を求めます。 (3) 定数 $a$ に対して、$a \le x \le a+1$ の範囲で $f(x)$ が $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が $13$ 以下となるような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表します。

(2) $x \le -1$ の範囲で $x$ が動くとき、$f(x)$ のとりうる値の範囲を求めます。

(3) 定数 $a$ に対して、$a \le x \le a+1$ の範囲で $f(x)$ が $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が $13$ 以下となるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ を $t = 2^x$ で表します。

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$

$2^{x-2} = 2^x \cdot 2^{-2} = 2^x \cdot \frac{1}{4} = \frac{t}{4}$

したがって、

$f(x) = t^2 - 3 \cdot \frac{t}{4} = t^2 - \frac{3}{4}t$

(2)

$x \le -1$ より、$t = 2^x \le 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$t > 0$ であるから、$0 < t \le \frac{1}{2}$

$f(x) = t^2 - \frac{3}{4}t = \left(t - \frac{3}{8}\right)^2 - \frac{9}{64}$

$0 < t \le \frac{1}{2}$ の範囲で $f(x)$ の値を考えます。

$t = \frac{3}{8}$ は、$0 < t \le \frac{1}{2}$ に含まれます。

$t = 0$ のとき、$f(x) = 0$

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = \frac{2-3}{8} = -\frac{1}{8}$

$t = \frac{3}{8}$ のとき、$f(x) = -\frac{9}{64}$

したがって、$-\frac{9}{64} \le f(x) \le 0$ ではなく、$t = 1/2$ のとき$f(x) = -1/8$ であり、$t \to 0$ とすると、$f(x) \to 0$ となるため、$-9/64 \le f(x) < 0$ です。

(3)

$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ が $x = a+1$ で最大となる条件を考えます。

$g(t) = t^2 - \frac{3}{4}t$ とおきます。$t = 2^x$ です。

$a \le x \le a+1$ より、$2^a \le t \le 2^{a+1}$

$g(t)$ は $t = \frac{3}{8}$ で最小値をとるため、$2^{a+1} \le \frac{3}{8}$ であれば、$t=2^{a+1}$ で最大となります。

$2^{a+1} \le \frac{3}{8}$ と $f(a+1) \le 13$ を満たす $a$ の範囲を求めます。

$f(a+1) = 4^{a+1} - 3 \cdot 2^{(a+1)-2} = 4^{a+1} - \frac{3}{4} \cdot 2^{a+1} \le 13$

$2^{a+1} = u$ とおくと、$u > 0$ であり、$u^2 - \frac{3}{4}u \le 13$

$4u^2 - 3u - 52 \le 0$

$(4u + 13)(u - 4) \le 0$

$-\frac{13}{4} \le u \le 4$

$u > 0$ より、$0 < u \le 4$

$0 < 2^{a+1} \le 4 = 2^2$

$a+1 \le 2$

$a \le 1$

$2^{a+1} \le \frac{3}{8} = 2^{\log_2(3/8)}$

$a+1 \le \log_2(3/8)$

$a \le \log_2(3/8) - 1 = \log_2(3/8) - \log_2(2) = \log_2(\frac{3}{16})$

$2^{a+1} > 3/8$のとき、$g(t)$が$t=2^{a+1}$で最大となる条件は、$2^a \ge 3/8$、つまり$a \ge \log_2 (3/8)$

$a \le 1$

よって、$a \le 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = t^2 - \frac{3}{4}t$

(2) $-\frac{9}{64} \le f(x) < 0$

(3) $a \le 1$