2次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ のグラフについて、以下の問いに答える問題です。 * グラフが上に凸か下に凸か、軸の方程式、頂点の座標を求める。 * グラフを $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線 $C$ の方程式を求める。 * 放物線 $C$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ のグラフについて、以下の問いに答える問題です。

* グラフが上に凸か下に凸か、軸の方程式、頂点の座標を求める。

* グラフを $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線 $C$ の方程式を求める。

* 放物線 $C$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + 2x) + 1$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x + 1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x + 1)^2 + 2$

(2) グラフは $x^2$ の係数が負なので、上に凸です。軸は $x = -1$ です。頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

(3) 放物線 $y = -(x + 1)^2 + 2$ を $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動すると、

$y - 5 = -((x + 3) + 1)^2 + 2$

$y - 5 = -(x + 4)^2 + 2$

$y = -(x + 4)^2 + 7$

$y = -(x^2 + 8x + 16) + 7$

$y = -x^2 - 8x - 16 + 7$

$y = -x^2 - 8x - 9$

(4) 放物線 $y = -x^2 - 8x - 9$ を原点に関して対称移動すると、

$-y = -(-x)^2 - 8(-x) - 9$

$-y = -x^2 + 8x - 9$

$y = x^2 - 8x + 9$

3. 最終的な答え

上に凸

$x = -1$

$(-1, 2)$

$y = -x^2 - 8x - 9$

$y = x^2 - 8x + 9$