以下の3つの問題が与えられています。 (1) 関数 $y=2x^2 - 12x + 5$ の最小値を求める。 (2) 関数 $y=-2x^2 - 6x + 1$ ($ -1 \le x \le 1$) の最大値と最小値を求める。 (3) 関数 $y=-x^2 + 8x + c$ ($ 1 \le x \le 5$) の最小値が $-2$ であるときの定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

以下の3つの問題が与えられています。

(1) 関数 $y=2x^2 - 12x + 5$ の最小値を求める。

(2) 関数 $y=-2x^2 - 6x + 1$ ($-1 \le x \le 1$) の最大値と最小値を求める。

(3) 関数 $y=-x^2 + 8x + c$ ($1 \le x \le 5$) の最小値が $-2$ であるときの定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y=2x^2 - 12x + 5$ について:

平方完成を行うと、$y = 2(x^2 - 6x) + 5 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 5 = 2(x-3)^2 - 18 + 5 = 2(x-3)^2 - 13$ となります。

よって、$x=3$ のとき、最小値 $-13$ をとります。

(2) 関数 $y=-2x^2 - 6x + 1$ ($-1 \le x \le 1$) について:

平方完成を行うと、$y = -2(x^2 + 3x) + 1 = -2(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 1 = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + 1 = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$ となります。

軸は $x = -\frac{3}{2}$ であり、定義域 $-1 \le x \le 1$ の範囲で考えます。

$x=-1$ のとき、$y = -2(-1)^2 - 6(-1) + 1 = -2 + 6 + 1 = 5$

$x=1$ のとき、$y = -2(1)^2 - 6(1) + 1 = -2 - 6 + 1 = -7$

よって、$x=-1$ のとき最大値 $5$ をとり、$x=1$ のとき最小値 $-7$ をとります。

(3) 関数 $y=-x^2 + 8x + c$ ($1 \le x \le 5$) について:

平方完成を行うと、$y = -(x^2 - 8x) + c = -(x^2 - 8x + 16 - 16) + c = -(x-4)^2 + 16 + c$ となります。

軸は $x=4$ であり、定義域 $1 \le x \le 5$ の範囲に含まれます。

$x=4$ のとき、最大値 $16+c$ をとります。

定義域の端点における値を調べます。

$x=1$ のとき、$y = -1 + 8 + c = 7 + c$

$x=5$ のとき、$y = -25 + 40 + c = 15 + c$

$x=1$ のとき、最小値 $7+c = -2$ であるので、$c = -9$ となります。

このとき、$y = -(x-4)^2 + 16 - 9 = -(x-4)^2 + 7$ となり、最大値は $x=4$ のとき $7$ となります。

別解：

軸が $x=4$ で、区間 $1 \le x \le 5$ の中央にあるから、区間の端点のどちらかで最小値を取る。

$x=1$ のとき、$y = -1 + 8 + c = 7 + c$

$x=5$ のとき、$y = -25 + 40 + c = 15 + c$

$7+c = -2$ より、$c = -9$

$15+c = -2$ より、$c = -17$

$x=1$ のとき最小値を取るので、$c = -9$

よって、$y = -(x-4)^2 + 16 - 9 = -(x-4)^2 + 7$ となり、最大値は $x=4$ のとき $7$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x=3$ のとき最小値 $-13$ をとる。

(2) $x=-1$ のとき最大値 $5$ をとり、$x=1$ のとき最小値 $-7$ をとる。

(3) $c = -9$ であり、最大値は $7$ である。