## 数学の問題

## 数学の問題

この画像には、二次方程式、二次関数のグラフとx軸の共有点、および二次不等式に関する問題が含まれています。具体的には、以下の問題が含まれています。

44 (1) 2次方程式 $4x^2 - 11x + 6 = 0$ の解を求めよ。

44 (2) 2次方程式 $2x^2 - 4x - 9 = 0$ の解を求めよ。

44 (3) 2次方程式 $x^2 - 8x - 2a = 0$ が実数解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

45 (1) 2次関数 $y = x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1$ のグラフがx軸に接するとき、定数 $a$ の値を求めよ。また、接点のx座標を求めよ。

45 (2) 2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ のグラフが、x軸から切り取る線分の長さを求めよ。

46 (1) 2次不等式 $x^2 - 3x - 4 \geq 0$ の解を求めよ。

46 (2) 2次不等式 $-x^2 + 3x + 2 > 0$ の解を求めよ。

46 (3) 連立不等式 $\begin{cases} 2x^2 - 9x + 7 \leq 0 \\ 3x^2 + 8x - 16 > 0 \end{cases}$ の解を求めよ。

## 解き方の手順と答え

**44 (1) 2次方程式 $4x^2 - 11x + 6 = 0$ の解**

1. 因数分解を試みる。$4x^2 - 11x + 6 = (4x - 3)(x - 2) = 0$

2. 各因数が0になる $x$ を求める。 $4x - 3 = 0$ より $x = \frac{3}{4}$。 $x - 2 = 0$ より $x = 2$

答え: $\frac{3}{4}, 2$

**44 (2) 2次方程式 $2x^2 - 4x - 9 = 0$ の解**

1. 解の公式を用いる。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

2. $a = 2, b = -4, c = -9$ を代入。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-9)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 72}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{88}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{22}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{22}}{2}$

答え: $\frac{2 \pm \sqrt{22}}{2}$

**44 (3) 2次方程式 $x^2 - 8x - 2a = 0$ が実数解をもつとき、定数 $a$ の値の範囲**

1. 判別式 $D = b^2 - 4ac$ を求める。

2. 実数解を持つ条件は $D \geq 0$ である。

3. $a = 1, b = -8, c = -2a$ より、$D = (-8)^2 - 4(1)(-2a) = 64 + 8a$

4. $64 + 8a \geq 0$ を解く。$8a \geq -64$ より $a \geq -8$

答え: $a \geq -8$

**45 (1) 2次関数 $y = x^2 - 3ax + 2a^2 + a - 1$ のグラフがx軸に接するとき、定数 $a$ の値、および接点のx座標**

1. x軸に接する条件は、判別式 $D = 0$ である。

2. $D = (-3a)^2 - 4(1)(2a^2 + a - 1) = 9a^2 - 8a^2 - 4a + 4 = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

3. $(a - 2)^2 = 0$ より $a = 2$

4. $y = x^2 - 6x + 8 + 2 - 1 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

5. 接点のx座標は $x = 3$

答え: $a=2$、接点のx座標は $3$

**45 (2) 2次関数 $y = -x^2 + 6x + 1$ のグラフが、x軸から切り取る線分の長さ**

1. $y = 0$ となる $x$ の値を求める。 $-x^2 + 6x + 1 = 0$

2. 解の公式を用いる。$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-1)(1)}}{2(-1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 4}}{-2} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{-2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{-2} = 3 \pm \sqrt{10}$

3. 切り取る線分の長さは、2つの解の差の絶対値である。 $| (3 + \sqrt{10}) - (3 - \sqrt{10}) | = | 2\sqrt{10} | = 2\sqrt{10}$

答え: $2\sqrt{10}$

**46 (1) 2次不等式 $x^2 - 3x - 4 \geq 0$ の解**

1. 因数分解する。$(x - 4)(x + 1) \geq 0$

2. $x - 4 = 0$ より $x = 4$, $x + 1 = 0$ より $x = -1$

3. 数直線を書いて、$(x - 4)(x + 1)$ の符号を調べる。$x \leq -1$ または $x \geq 4$

答え: $x \leq -1$ または $x \geq 4$

**46 (2) 2次不等式 $-x^2 + 3x + 2 > 0$ の解**

1. 両辺に -1 をかける。$x^2 - 3x - 2 < 0$

2. 解の公式を用いる。$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

3. $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

答え: $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

**46 (3) 連立不等式 $\begin{cases} 2x^2 - 9x + 7 \leq 0 \\ 3x^2 + 8x - 16 > 0 \end{cases}$ の解**

1. $2x^2 - 9x + 7 \leq 0$ を解く。$(2x - 7)(x - 1) \leq 0$。 よって $1 \leq x \leq \frac{7}{2}$

2. $3x^2 + 8x - 16 > 0$ を解く。$(3x - 4)(x + 4) > 0$。 よって $x < -4$ または $x > \frac{4}{3}$

3. 二つの解の共通範囲を求める。

$1 \leq x \leq \frac{7}{2}$ と $x < -4$ または $x > \frac{4}{3}$ の共通範囲は、$\frac{4}{3} < x \leq \frac{7}{2}$

答え: $\frac{4}{3} < x \leq \frac{7}{2}$