与えられた3つの不等式を解く問題です。 (1) $x^2 - 3x - 4 \ge 0$ (2) $-x^2 + 3x + 2 > 0$ (3) $\begin{cases} 2x^2 - 9x + 7 \le 0 \\ 3x^2 + 8x - 16 > 0 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた3つの不等式を解く問題です。

(1) $x^2 - 3x - 4 \ge 0$

(2) $-x^2 + 3x + 2 > 0$

(3) $\begin{cases} 2x^2 - 9x + 7 \le 0 \\ 3x^2 + 8x - 16 > 0 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 3x - 4 \ge 0$ を解きます。

左辺を因数分解すると $(x - 4)(x + 1) \ge 0$ となります。

したがって、$x \le -1$ または $x \ge 4$ が解です。

(2) $-x^2 + 3x + 2 > 0$ を解きます。

両辺に $-1$ をかけると $x^2 - 3x - 2 < 0$ となります。

二次方程式 $x^2 - 3x - 2 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ となります。

したがって、$\frac{3 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ が解です。

(3) 連立不等式 $\begin{cases} 2x^2 - 9x + 7 \le 0 \\ 3x^2 + 8x - 16 > 0 \end{cases}$ を解きます。

まず、$2x^2 - 9x + 7 \le 0$ を解きます。

左辺を因数分解すると $(2x - 7)(x - 1) \le 0$ となります。

したがって、$1 \le x \le \frac{7}{2}$ が解です。

次に、$3x^2 + 8x - 16 > 0$ を解きます。

左辺を因数分解すると $(3x - 4)(x + 4) > 0$ となります。

したがって、$x < -4$ または $x > \frac{4}{3}$ が解です。

2つの不等式の解を合わせると、

$1 \le x \le \frac{7}{2}$ かつ ($x < -4$ または $x > \frac{4}{3}$) となります。

$1 \le x \le \frac{7}{2}$ と $x > \frac{4}{3}$ の共通範囲は、$\frac{4}{3} < x \le \frac{7}{2}$ となります。

したがって、$\frac{4}{3} < x \le \frac{7}{2}$ が解です。

3. 最終的な答え

(1) $x \le -1$ または $x \ge 4$

(2) $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

(3) $\frac{4}{3} < x \le \frac{7}{2}$