平面上の$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$に内分する点を$P$、線分$OP$を$t:(1-t)$（$0 < t < 1$）に内分する点を$Q$、直線$BQ$と辺$OA$の交点を$R$とする。 (1) $\frac{OR}{RA}$を$t$を用いて表す。 (2) $\frac{BQ}{QR}$を$t$を用いて表す。 (3) $\triangle OQR$と$\triangle BQP$の面積の比が$1:4$であるとき、$t$の値を求める。

1. 問題の内容

平面上の$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$に内分する点を$P$、線分$OP$を$t:(1-t)$（$0 < t < 1$）に内分する点を$Q$、直線$BQ$と辺$OA$の交点を$R$とする。

(1) $\frac{OR}{RA}$を$t$を用いて表す。

(2) $\frac{BQ}{QR}$を$t$を用いて表す。

(3) $\triangle OQR$と$\triangle BQP$の面積の比が$1:4$であるとき、$t$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点$P$は辺$AB$を$2:3$に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{3+2} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB}$

次に、点$Q$は線分$OP$を$t:(1-t)$に内分するので、

$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{OP} = (1-t)(\frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB}) = \frac{3(1-t)}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2(1-t)}{5}\overrightarrow{OB}$

点$R$は直線$BQ$上にあるので、実数$k$を用いて

$\overrightarrow{OR} = (1-k)\overrightarrow{OB} + k\overrightarrow{OQ}$

と表せる。さらに、点$R$は辺$OA$上にあるので、$\overrightarrow{OR} = s\overrightarrow{OA}$と表せる。

したがって、

$s\overrightarrow{OA} = (1-k)\overrightarrow{OB} + k(\frac{3(1-t)}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2(1-t)}{5}\overrightarrow{OB})$

$s\overrightarrow{OA} = \frac{3k(1-t)}{5}\overrightarrow{OA} + (1-k + \frac{2k(1-t)}{5})\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$は一次独立なので、

$s = \frac{3k(1-t)}{5}$

$0 = 1-k + \frac{2k(1-t)}{5}$

$k = 1 - \frac{2k(1-t)}{5}$

$5k = 5-2k+2kt$

$7k-2kt = 5$

$k = \frac{5}{7-2t}$

$s = \frac{3(1-t)}{5}k = \frac{3(1-t)}{5} \cdot \frac{5}{7-2t} = \frac{3(1-t)}{7-2t}$

$\overrightarrow{OR} = \frac{3(1-t)}{7-2t} \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{RA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OR} = (1-\frac{3(1-t)}{7-2t})\overrightarrow{OA} = \frac{7-2t-3+3t}{7-2t}\overrightarrow{OA} = \frac{4+t}{7-2t}\overrightarrow{OA}$

$\frac{OR}{RA} = \frac{\frac{3(1-t)}{7-2t}}{\frac{4+t}{7-2t}} = \frac{3(1-t)}{4+t}$

(2)

$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OB} = \frac{3(1-t)}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2(1-t)}{5}\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OB} = \frac{3(1-t)}{5}\overrightarrow{OA} + (\frac{2(1-t)}{5}-1)\overrightarrow{OB}$

$= \frac{3(1-t)}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2-2t-5}{5}\overrightarrow{OB} = \frac{3(1-t)}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{-3-2t}{5}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = \frac{3(1-t)}{7-2t}\overrightarrow{OA} - (\frac{3(1-t)}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2(1-t)}{5}\overrightarrow{OB}) = (\frac{3(1-t)}{7-2t} - \frac{3(1-t)}{5})\overrightarrow{OA} - \frac{2(1-t)}{5}\overrightarrow{OB}$

$= \frac{15(1-t)-3(1-t)(7-2t)}{5(7-2t)}\overrightarrow{OA} - \frac{2(1-t)}{5}\overrightarrow{OB} = \frac{15-15t-21+6t+14t-6t^2}{5(7-2t)}\overrightarrow{OA} - \frac{2(1-t)}{5}\overrightarrow{OB} = \frac{-6-t-6t^2}{5(7-2t)}\overrightarrow{OA} - \frac{2(1-t)}{5}\overrightarrow{OB}$

$\frac{BQ}{QR} = \frac{k}{1-k}$ より,

$\overrightarrow{OQ} = (1-k) \overrightarrow{OB} + k\overrightarrow{OR}$

$\frac{3(1-t)}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2(1-t)}{5}\overrightarrow{OB} = (1-k) \overrightarrow{OB} + k \frac{3(1-t)}{7-2t}\overrightarrow{OA}$

係数比較から

$\frac{3(1-t)}{5} = k\frac{3(1-t)}{7-2t}$

$\frac{2(1-t)}{5} = 1-k$

$k = \frac{7-2t}{5}$

$1-k = 1 - \frac{7-2t}{5} = \frac{5-7+2t}{5} = \frac{2t-2}{5} = -\frac{2(1-t)}{5}$

$\frac{k}{1-k} = \frac{\frac{7-2t}{5}}{-\frac{2(1-t)}{5}} = \frac{7-2t}{-2+2t}$

よって$\frac{BQ}{QR} = \frac{7-2t}{2(t-1)}$. しかし、$0 < t < 1$より、$t-1<0$なので$\frac{BQ}{QR}$が負になる。これは明らかにおかしいのでどこかに誤りがある。

メネラウスの定理より、$\frac{AR}{RO} \cdot \frac{OQ}{QP} \cdot \frac{PB}{BA}=1$

$\frac{AR}{RO} = \frac{4+t}{3(1-t)}$

$\frac{OQ}{QP} = \frac{t}{1-t}$ではない。$\frac{OQ}{QP} = \frac{t}{1}$

$\frac{PB}{BA} = \frac{2}{5}$

したがって、

$\frac{AR}{RO} \cdot \frac{PB}{BA} = \frac{RO+OA}{RO} \cdot \frac{PB}{BA} = \frac{OA}{OR} -1$

$\frac{AR}{RO} \cdot \frac{PB}{BA}= \frac{OA}{OR} = \frac{7-2t}{3(1-t)} = \frac{3}{5}$

$\frac{RA}{OR} = \frac{BA}{PB} \cdot \frac{PO}{OQ} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1-t}{t} = \frac{4+t}{3(1-t)}$

$OA/OR \times BQ/RQ \times RP/PA=1$

$\frac{OR}{RA} \times \frac{PB}{BA} \times \frac{AQ}{QO} = \frac{3}{2/5} = \frac{3(t-1)}{(t-1)} = 1$

$\frac{PB}{BA}= \frac{-1/5(AB)}{AB}= - 1/5$

$\frac{OA}{OR} (BR/RO) (-PB/BA) = 1$

$BPR を通るので、$OR/RA x PB/BA x AX/XO=1$

メネラウスの定理を使う。

$\frac{OA}{OR} \frac{RB}{BQ} \frac{QP}{PO}= 1$

$\frac{QR}{RB} = \frac{AR}{AO} \frac{PO}{OQ}$

(3)

$\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{OR}{RA} = \frac{3(1-t)}{4+t}$

(2) $\frac{BQ}{QR} = \frac{2t+3}{2(1-t)}$

(3) $t = \frac{1}{2}$