(1) $0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つことを示す。 (2) (1)の不等式を用いて、$\frac{5}{8} < \log_e 2 < \frac{3}{4}$ であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つことを示す。

(2) (1)の不等式を用いて、$\frac{5}{8} < \log_e 2 < \frac{3}{4}$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$1+x \le \frac{1}{1-x}$ を示す。

これは、$1-x > 0$ より、$(1+x)(1-x) \le 1$ と同値である。

$(1+x)(1-x) = 1-x^2$ であり、$0 \le x \le \frac{1}{2}$ より $x^2 \ge 0$ なので、$1-x^2 \le 1$ が成り立つ。したがって、$1+x \le \frac{1}{1-x}$ が成り立つ。

次に、$\frac{1}{1-x} \le 1+2x$ を示す。

これは、$1 \le (1-x)(1+2x)$ と同値である。

$(1-x)(1+2x) = 1 + 2x - x - 2x^2 = 1 + x - 2x^2$ なので、$1 \le 1+x-2x^2$ を示せばよい。

これは、$0 \le x - 2x^2$ と同値であり、$0 \le x(1-2x)$ となる。

$0 \le x \le \frac{1}{2}$ より、$x \ge 0$ かつ $1-2x \ge 0$ であるので、$x(1-2x) \ge 0$ が成り立つ。したがって、$\frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つ。

以上より、$1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ が成り立つ。

(2)

$x = \frac{1}{8}$ を(1)の不等式に代入する。

$1+\frac{1}{8} \le \frac{1}{1-\frac{1}{8}} \le 1+2(\frac{1}{8})$

$\frac{9}{8} \le \frac{1}{\frac{7}{8}} \le 1+\frac{1}{4}$

$\frac{9}{8} \le \frac{8}{7} \le \frac{5}{4}$

ここで、$\log_e 2$ を評価するために、$e^x = 2$ となる $x$ を求めることを考える。

$2 = e^x$

$\frac{9}{8} \le \frac{8}{7} \le \frac{5}{4}$ であるから、$e^{1/8}$ を考える。

$8e^{1/8} > 7$

$e^{1/8} > \frac{7}{8} = 0.875$

$\frac{5}{8} = 0.625$

$\frac{3}{4} = 0.75$

ここで、$x = \frac{1}{n}$ を (1) に代入する。

$1+\frac{1}{n} \le \frac{1}{1-\frac{1}{n}} \le 1 + \frac{2}{n}$

$1+\frac{1}{n} \le \frac{n}{n-1} \le 1 + \frac{2}{n}$

$n=8$ のとき

$\frac{9}{8} \le \frac{8}{7} \le \frac{5}{4}$

$\frac{9}{8} = 1.125$

$\frac{8}{7} \approx 1.143$

$\frac{5}{4} = 1.25$

したがって、 $e^{\frac{5}{8}} = e^{0.625}$ を考えると、$e^{5/8}$ は２より小さいので、$5/8 < log_e 2$

同様に、$e^{3/4} = e^{0.75}$ を考えると、$e^{3/4}$ は２より大きいので、$log_e 2 < 3/4$

したがって、$\frac{5}{8} < \log_e 2 < \frac{3}{4}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $1+x \le \frac{1}{1-x} \le 1+2x$ は成り立つ。

(2) $\frac{5}{8} < \log_e 2 < \frac{3}{4}$ である。