数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + (2n+2)$ によって定義される。この数列の一般項を $a_n = n^2 + pn + q$ とすると、$p$ と $q$ の値を求め、$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k}$ の値を求める問題である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + (2n+2)$ によって定義される。この数列の一般項を $a_n = n^2 + pn + q$ とすると、$p$ と $q$ の値を求め、$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k}$ の値を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、$a_1 = 2$ より、$1^2 + p(1) + q = 2$ 、つまり $1 + p + q = 2$ なので、$p + q = 1$ が得られる。

次に、$a_{n+1} = a_n + (2n+2)$ に $a_n = n^2 + pn + q$ を代入すると、

$(n+1)^2 + p(n+1) + q = n^2 + pn + q + 2n + 2$

$n^2 + 2n + 1 + pn + p + q = n^2 + pn + q + 2n + 2$

$2n + 1 + p = 2n + 2$

$p = 1$

$p+q=1$ に $p=1$ を代入すると、$1 + q = 1$ より、$q = 0$。

したがって、$a_n = n^2 + n = n(n+1)$ である。

$\frac{1}{a_k} = \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ であるから、

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

$= \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right)$

$= 1 - \frac{1}{11} = \frac{11-1}{11} = \frac{10}{11}$

3. 最終的な答え

$p = 1$, $q = 0$, $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = \frac{10}{11}$