多項式 $A$ を多項式 $B$ で割ったときの商と余りを求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について計算します。 (ア) $A = 3x^2 + 5x + 4$, $B = x + 1$ (イ) $A = 2x^4 - 6x^3 + 5x - 3$, $B = 2x^2 - 3$

1. 問題の内容

多項式 $A$ を多項式 $B$ で割ったときの商と余りを求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について計算します。

(ア) $A = 3x^2 + 5x + 4$, $B = x + 1$

(イ) $A = 2x^4 - 6x^3 + 5x - 3$, $B = 2x^2 - 3$

2. 解き方の手順

多項式の割り算を行います。

(ア) $A = 3x^2 + 5x + 4$, $B = x + 1$ の場合

$3x^2 + 5x + 4$ を $x + 1$ で割ります。

まず、$3x^2$ を $x$ で割ると $3x$ なので、商の最初の項は $3x$ です。

$3x(x+1) = 3x^2 + 3x$ を $3x^2 + 5x + 4$ から引くと、$2x + 4$ が残ります。

次に、$2x$ を $x$ で割ると $2$ なので、商の次の項は $2$ です。

$2(x+1) = 2x + 2$ を $2x + 4$ から引くと、$2$ が残ります。

したがって、商は $3x + 2$ で、余りは $2$ です。

(イ) $A = 2x^4 - 6x^3 + 5x - 3$, $B = 2x^2 - 3$ の場合

$2x^4 - 6x^3 + 5x - 3$ を $2x^2 - 3$ で割ります。

$2x^4 - 6x^3 + 0x^2 + 5x - 3$ と考えます。

まず、$2x^4$ を $2x^2$ で割ると $x^2$ なので、商の最初の項は $x^2$ です。

$x^2(2x^2-3) = 2x^4 - 3x^2$ を $2x^4 - 6x^3 + 0x^2 + 5x - 3$ から引くと、$-6x^3 + 3x^2 + 5x - 3$ が残ります。

次に、$-6x^3$ を $2x^2$ で割ると $-3x$ なので、商の次の項は $-3x$ です。

$-3x(2x^2 - 3) = -6x^3 + 9x$ を $-6x^3 + 3x^2 + 5x - 3$ から引くと、$3x^2 - 4x - 3$ が残ります。

次に、$3x^2$ を $2x^2$ で割ると $\frac{3}{2}$ なので、商の次の項は $\frac{3}{2}$ です。

$\frac{3}{2}(2x^2 - 3) = 3x^2 - \frac{9}{2}$ を $3x^2 - 4x - 3$ から引くと、$-4x + \frac{3}{2}$ が残ります。

したがって、商は $x^2 - 3x + \frac{3}{2}$ で、余りは $-4x + \frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(ア) 商: $3x + 2$, 余り: $2$

(イ) 商: $x^2 - 3x + \frac{3}{2}$, 余り: $-4x + \frac{3}{2}$