与えられた関数 $y = f(x) = \frac{1}{(x^2 + 2)^6}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = f(x) = \frac{1}{(x^2 + 2)^6}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を書き換えます。

$y = (x^2 + 2)^{-6}$

次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。

チェーンルールとは、$y = u^n$ かつ $u = f(x)$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ が成り立つというものです。

ここで、$u = x^2 + 2$ とおくと、$y = u^{-6}$となります。

$\frac{dy}{du} = -6u^{-7}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -6u^{-7} \cdot 2x = -12x(x^2 + 2)^{-7}$

最後に、書き換えると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-12x}{(x^2 + 2)^7}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-12x}{(x^2 + 2)^7}$