与えられた関数 $y = f(x) = (x^2 + 2) \cdot 3^x$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = f(x) = (x^2 + 2) \cdot 3^x$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

この関数は、2つの関数の積の形をしています。つまり、$u(x) = x^2 + 2$ と $v(x) = 3^x$ とおくと、$y = u(x)v(x)$ となります。積の微分法則を用いて、導関数を求めます。積の微分法則は、次の通りです。

$(uv)' = u'v + uv'$

まず、$u(x)$ と $v(x)$ の導関数を求めます。

$u(x) = x^2 + 2$ より、$u'(x) = 2x$

$v(x) = 3^x$ より、$v'(x) = 3^x \ln{3}$

これらの導関数を積の微分法則に代入します。

$y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$y' = (2x)(3^x) + (x^2 + 2)(3^x \ln{3})$

$y' = 2x \cdot 3^x + (x^2 + 2) \cdot 3^x \ln{3}$

$y' = 3^x [2x + (x^2 + 2)\ln{3}]$

3. 最終的な答え

$y' = 3^x[2x + (x^2 + 2)\ln{3}]$