関数 $y = f(x) = (1 + \log(2x))^3$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = (1 + \log(2x))^3$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、合成関数の微分法（チェーンルール）を使います。まず、$u = 1 + \log(2x)$ とおくと、$y = u^3$ となります。

1. $y$ を $u$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

2. 次に、$u = 1 + \log(2x)$ を $x$ で微分します。ここで、さらに合成関数を適用します。$v = 2x$ とおくと、$u = 1 + \log(v)$ となります。

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$

$\frac{dv}{dx} = 2$

したがって、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} \cdot 2 = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$

3. チェーンルールを使って、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3(1 + \log(2x))^2}{x}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{3(1 + \log(2x))^2}{x}$