与えられた関数 $y = f(x) = (1 + \log(2x))^3$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = f(x) = (1 + \log(2x))^3$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。

$y = u^3$ であり、$u = 1 + \log(2x)$ と置くと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

となります。

最初に $\frac{dy}{du}$ を求めます。

$y = u^3$ より、

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

次に $\frac{du}{dx}$ を求めます。

$u = 1 + \log(2x)$ より、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (1 + \log(2x))$

$\frac{d}{dx} (1) = 0$ であり、$\frac{d}{dx} (\log(2x))$ を求めます。

ここで、さらに合成関数の微分法を使います。$v = 2x$ と置くと、$\log(2x) = \log(v)$ であり、

$\frac{d}{dx} (\log(2x)) = \frac{d}{dv} (\log(v)) \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{d}{dv} (\log(v)) = \frac{1}{v}$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (2x) = 2$

したがって、

$\frac{d}{dx} (\log(2x)) = \frac{1}{v} \cdot 2 = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

よって、

$\frac{du}{dx} = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{1}{x} = 3(1 + \log(2x))^2 \cdot \frac{1}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(1 + \log(2x))^2}{x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(1 + \log(2x))^2}{x}$