2次関数 $y = -2x^2 + 8x - 5$ の最大値、または最小値があれば、それらを求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 8x - 5$ の最大値、または最小値があれば、それらを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 8x - 5$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形することで、頂点の座標を求め、最大値または最小値を判断します。

$y = -2(x^2 - 4x) - 5$

$y = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 5$

$y = -2((x - 2)^2 - 4) - 5$

$y = -2(x - 2)^2 + 8 - 5$

$y = -2(x - 2)^2 + 3$

この式から、頂点の座標は $(2, 3)$ であることが分かります。

また、$x^2$ の係数 $-2$ が負であるため、このグラフは上に凸の放物線であり、最大値を持ちます。

頂点が最大値を与えるので、最大値は $3$ です。

下に凸の放物線ではないため、最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

最大値: 3

最小値: なし